Question

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=x毫米．
（1）求证：y=120-x；
（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于t的一元二次方程t²-10pt+200q=0的两个根，而p、q的值又恰好分别是a，10，12，13，b这5个数据的众数与平均数，试求a与b的值．

Answer 1

（1）证明：根据已知条件易知：PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x，
∴△APN∽△ABC．
从而有
即
∴y=120-x

（2）解：设矩形PQMN的面积为S，则S=xy
即S=x（120-）
当x=-=40时，S有最大值为2400
此时y==60
∴x=40mm，y=60mm时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400平方毫米．

（3）解：由根与系数的关系，得
解得p=10，q=12
∵a为10，12，13，b的众数为10，
∴有a=10或b=10．
当a=10时，有=12，
解得b=15
当b=10时，a=15．
（注：只答a=10，b=15不扣分）
分析：（1）易证△APN∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解；
（2）矩形PQMN的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解；
（3）把（2）中求得的长于宽的数值，代入t²-10pt+200q=0即可求得p，q的数值，根据众数与中位数的定义即可求得a与b的值．
点评：本题主要运用了相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法，以及众数，中位数的定义．