Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC变上的中线，分别以AC、AB所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系（如图）
（1）求△ABC的面积；
（2）求直线BD的函数关系式；
（3）直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根据三角形的面积公式解答即可；
（2）因为AB=AC=4，BD是AC边上的中线，所以可得到AD=DC=2，即B（0，4），D（2，0）．
可设直线BD的函数关系式：y=kx+b，将B、D的坐标代入，得到关于k、b的方程组，解之即可；
（3）因为M在直线BD上，所以可设M（a，-2a+4），因为△AMC为等腰三角形，所以需分情况讨论：
分三种情况：
①若AM=AC，利用两点间的距离公式可得AM²=a²+（-2a+4）²，因为AC²=16，所以可得到关于a的方程，解之即可；
②若MC=AC，利用两点间的距离公式可得MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16，所以可得到关于a的方程，解之即可；
③若AM=MC，利用两点间的距离公式可得AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²解之即可，又因M₅（2，0）点在AC上，构不成三角形，所以应舍去．

解答：解：（1）∵△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×4×4=8；

（2）∵AB=AC=4，BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=2．
∴B（0，4），D（2，0）．                           
设直线BD的函数关系式：y=kx+b，
得

b=4 2k+b=0

，解得

b=4 k=-2

．                     
∴直线BD的函数关系式：y=-2x+4；
（3）设M（a，-2a+4）．                                 
分三种情况：
①AM=AC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴a²+（-2a+4）²=16．解得a₁=0，a₂=

16

5

．
∴M₁（0，4），M₂（

16

5

，-

12

5

）；              
②MC=AC．
∵MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴（4-a）²+（-2a+4）²=16．
解得a₃=4，a₄=

4

5

，
∴M₃（4，-4），M₄（

4

5

，

12

5

）；              
③AM=MC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，
∴a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²，
解得a₅=2．
∴M₅（2，0），这时M₅点在AC上，构不成三角形，舍去．
综上所述，在直线BD上存在四点，即M₁（0，4），），M₂（

16

5

，-

12

5

），M₃（4，-4），M₄（

4

5

，

12

5

）符合题意．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式和两点间的距离公式等知识，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．