Question

感知：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFB．
探究：如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：EG=BE+GD．
应用：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

Answer 1

探究：证明：∵根据旋转的性质得：△EBC≌△FDC，
∴CE=CF，DF=BE，
∵CG平分∠ECF，
∴∠ECG=∠FCG，
在△ECG和△FCG中

∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴EG=GF，
∵GF=DG+DF=DG+BE，
∴EG=BE+GD；

应用：
解：如图3，过C作CH⊥AD于H，旋转△BCE到△CHM，
则∠A=∠B=∠CHA=90°，
∵AB=BC，
∴四边形ABCH是正方形，
∵∠DCE=45°，AH=BC，
∴∠DCH+∠ECB=90°-45°=45°，
∵由已知证明知：△EBC≌△MHC，
∴∠ECB=∠MCH，
∴∠DCH+∠MCH=45°，
∴CD平分∠ECM，
∴由探究证明知：DE=BE+DH，
在Rt△AED中，DE=10，AD=6，由勾股定理得：AE=8，
设BE=x，则BC=AB=x+8=AH，
即x+8=6+10-x，
x=4，
BE=4，
AB=4+8=12，BC=AB=12，
∴梯形ABCD的面积是×（6+12）×12=108．
分析：探究：求出CE=CF，DF=BE，∠ECG=∠FCG，证△ECG≌△FCG，推出EG=GF即可；
应用：过C作CH⊥AD于H，旋转△BCE到△CHM，推出四边形ABCH是正方形，CD平分∠ECM，由探究证明知：DE=BE+DH，
在Rt△AED中，DE=10，AD=6，由勾股定理求出AE=8，设BE=x，根据BC=AB=x+8=AH得出x+8=6+10-x，求出x=4即可．
点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．