Question

11．如图，在?ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，求DE的长．

Answer 1

分析 连接CE，根据圆周角定理易知：∠BAE=∠BEC+∠EBC，而∠DCB=∠DCE+∠BCE，这两个等式中，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC；再由平行四边形的性质知：∠DCB=∠EAB，因此∠BEC=∠BCE，即可得BC=BE=5，即AD=5，进而可由切割线定理求DE的长．

解答 解：连接CE；
∵$\widehat{BCE}$=$\widehat{BC}$+$\widehat{CE}$，
∴∠BAE=∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB=∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB=∠BAE，
∴∠BEC=∠BCE，即BC=BE=5，
∴AD=5，
由切割线定理知：DE=DC²÷DA=$\frac{16}{5}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用，能够判断出△BEC是等腰三角形，是解决此题的关键．