Question

10．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AE=AB，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）∠BAD=∠C吗？为什么？
（2）△FAB是等腰三角形吗？请说明理由．
（3）F是BG的中点吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由BC是⊙O的直径，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，根据同角的余角相等，即可证得∠BAD=∠C；
（2）由AE=AB，根据等边对等角的性质，可得∠ABE=∠E，然后由圆周角定理，可得∠E=∠C，又由（1）中，∠C=∠BAD，即可证得∠BAD=∠ABE，继而判定△FAB是等腰三角形；
（3）易证得∠DAG=∠FGA，即可判定FA=FG，又由AF=BF，即可证得F是BG的中点．

解答 解：（1）相等．
理由：∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠C=∠BAD；

（2）是等腰三角形．
理由：∵AE=AB，
∴∠ABE=∠E，
∵∠C=∠BAD，∠E=∠C，
∴∠BAD=∠ABE=∠C，
∴FA=FB；

（3）是中点．
理由：∵∠ABG+∠AGB=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABE=∠C，
∴∠FAG=∠FGA，
∴FG=FA，
∴FG=FA=FB，
即F是BG的中点．

点评 此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意直径对的圆周角是直角．