Question

15．如图，经过点A（-1，0）的一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象相交于P、Q两点，过点P作PB⊥x轴于点B．已知tan∠PAB=2，点Q的坐标为（-3，m）
（1）求m的值；
（2）求△PAB的面积；
（3）在x正半轴上取一点D，使以O，C，D为顶点的三角形与△PAB相似，求出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作QM⊥OA于M．在Rt△AQM中，根据tan∠MAQ=tan∠PAB=2=$\frac{MQ}{AM}$，求出QM，即可解决问题．
（2））由PB⊥AB，tan∠PAB=$\frac{PB}{AB}$=2，可以假设AB=x，PB=2x，则P（x-1，2x），可得（x-1）•2x=12，解方程即可解决问题．
（3）分两种情形①当△COD∽△PBA时，$\frac{OD}{OC}$=$\frac{AB}{PB}$=$\frac{1}{2}$，②当△COD′∽△ABP时，$\frac{OD′}{OC}$=$\frac{PB}{AB}$=2，分别求出点D坐标即可．

解答 解：（1）如图1中，作QM⊥OA于M．

∵A（-1，0），Q（-3，0），
∴OM=3，OQ=1，AM=2，
在Rt△AMQ中，tan∠MAQ=tan∠PAB=2=$\frac{MQ}{AM}$，
∴MQ=4，
∴Q（-3，-4），
∴m=-4．

（2）∵PB⊥AB，
∴tan∠PAB=$\frac{PB}{AB}$=2，
∴可以假设AB=x，PB=2x，则P（x-1，2x），
∴（x-1）•2x=12，
∴x=3或-2（舍弃），
∴P（2，6），
∴AB=3，PB=6，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$•AB•PB=9．

（3）如图2中，

①当△COD∽△PBA时，$\frac{OD}{OC}$=$\frac{AB}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∵C（2，0），
∴OC=2，
∴OD=1，
∴D（1，0）．
②当△COD′∽△ABP时，$\frac{OD′}{OC}$=$\frac{PB}{AB}$=2，
∴OD′=4，
∴D′（4，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（4，0）．

点评 本题主要考查了锐角三角函数的定义，三角形的面积，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，综合运用这些知识进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．