Question

【题目】如图，⊙O为Rt△ACB的外接圆，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连AC

（1）若AC＝CP，求的值

（2）若sin∠APC＝，求tan∠ABC

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，根据已知条件易证△ACO≌△PCB（AAS），根据全等三角形的性质可得OC＝BC＝OB，可判定△OBC为等边三角形，即求得结论；（2）连接OC，先证△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质可得，再求得PC的长，即可求得结论.

试题解析：

（1）∵AC＝CP

∴∠A＝∠P

连接OC

∵PC切⊙O于点C

∴∠OCP＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠ACO＝∠PCB

在△ACO和△PCB中

∴△ACO≌△PCB（AAS）

∴OC＝BC＝OB

∴△OBC为等边三角形

∴∠OBC＝60°，∠A＝∠P＝30°

∴

（2） 连接OC，

∵PC切于点C

∴∠OCP＝90°

∴∠PCB＋∠OCB＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠CAB＋∠CBA＝90°

∵OB＝OC

∴∠OBC＝∠OCB

∴∠PCB＝∠PAC

∴△PCB∽△PAC

∴

∵sin∠APC＝

∴设OC＝7，OP＝25，则OB＝OA＝7，BP＝18

∴

∴PC＝12

∴tan∠ABC＝