Question

已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）从当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；
（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，
∴

9a+3b+3=0 16a+4b+3=1

，
解得：

a= 1 2 b=- 5 2

，
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+3；
∴点C的坐标为：（0，3）；

（2）假设存在，分两种情况：
①当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°，
如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，设D为y轴上的点，
∵A（3，0），B（4，1），
∴AM=BM=1，
∴∠BAM=45°，
∴∠DAO=45°，
∴AO=DO，
∵A点坐标为（3，0），
∴D点的坐标为：（0，3），
∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：
∴0=3k+b，b=3，
∴k=-1，
∴y=-x+3，
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+3=-x+3，
∴x²-3x=0，
解得：x=0或3，
∴y=3，y=0（不合题意舍去），
∴P点坐标为（0，3），
∴点P、C、D重合，
②当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，
如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，
由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，
∴∠DBF=45°，
∴DF=4，
∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），
∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：
∴1=4k+b，b=5，
∴k=-1，
∴y=-x+5，
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+3=-x+5，
∴x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4（舍），
∴y=6，
∴P点坐标为（-1，6），
∴点P的坐标为：（-1，6），（0，3）；

（3）如图3：作EM⊥AO于M，
∵直线AC的解析式为：y=-x+3，
∴tan∠OAC=1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∴AC⊥AF，
∵S_△FEO=

1

2

OE×OF，
OE最小时S_△FEO最小，
∵OE⊥AC时OE最小，
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直线CA上，
∴E点坐标为（x，-x+3），
∴x=-x+3，
解得：x=

3

2

，
∴E点坐标为（

3

2

，

3

2

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．