如图.等腰直角△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.AD是高.∠ABC的平分线交AD.AC于E.F.点P是BF延长线上一点.且∠APB=45°.连接PC,以下结论:①CF=2DE,②BE=PE,③AE•CF=AP•EF,④BF•PB+CF•AC=AB2．其中正确的结论是( )A．①②B．①③④C．①②③D．①②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∠ABC的平分线交AD、AC于E、F，点P是BF延长线上一点，且∠APB=45°，连接PC；以下结论：①CF=2DE；②BE=

PE；③AE•CF=

AP•EF；④BF•PB+CF•AC=

AB²．其中正确的结论是（）

A．①②
B．①③④
C．①②③
D．①②③④

【答案】分析：首先过点F作FG⊥BC于G，由题意易得△ABD，△ACD，△CFG是等腰直角三角形，△AEF与△APE是等腰三角形，然后由△ABF∽△DBE，可求得①正确；再过点P作PH⊥AD于H，由等腰三角形的性质与平行线分线段成比例定理，可求得②正确；又由△ABP∽△FBC，可证得③正确；由△ABP∽△FBC，可得BF•PB=AB•BC=

AB²，由CF=

FG=

AF，可得CF•AC=（2-

）AB²，继而可求得BF•PB+CF•AC=2AB²．
解答：解：过点F作FG⊥BC于G，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD是高，EF是∠ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ABF=∠CBF=

∠ABC=22.5°，FG=FA，
∴△ABD、△ACD与△CFG是等腰直角三角形，
∴AD=BD=CD，
∵∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠BDE=90°，
∴△ABF∽△DBE，
∴AF：DE=AB：BD=

，
∴AF=

DE，
∴FG=

DE，
∵CF=

FG=

DE=2DE，
故①正确；
过点P作PH⊥AD于H，
∵∠APB=45°，∠EAF=45°，∠AEP=∠BED=90°-∠CBF=67.5°，
∴∠PAE=180°-∠APB-∠AEP=67.5°，∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=67.5°，
∴∠PAE=∠AEP，∠EAF=∠AEF，
∴PA=PE，AE=AF，
∴AH=HE，
∴AE=FG=

DE，
∴HE=

DE，
∵∠PHD=∠BDH=90°，
∴PH∥BD，
∴PE：BE=EH：ED=

：2，
∴BE=

PE；
故②正确；
∵∠EAF=∠APB，∠AEF=∠AEP，
∴△AEF∽△PEA，
∴AP：AE=AE：EF，

∴AE²=AP•EF，
∵CF=

FG=

AE，
∴AE•CF=

AE²=

AP•EF；
故③正确；
∵∠ABP=∠CBP，∠APB=∠ACB=45°，
∴△ABP∽△FBC，
∴AB：BF=PB：BC，
∴AB•BC=BF•PB，
∵BC=

AB，
∴BF•PB=AB•BC=

AB²，
∵CF=

FG=

AF，
∴CF=

AC=（2-

）AC，
∴CF•AC=（2-

）AC•AC=（2-

）AB²，
∴BF•PB+CF•AC=

AB²+（2-

）AB²=2AB²．
故④错误．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．

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