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    （2012•盐田区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，
    		3
    ）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．
    （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
    （2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的
    1
    2
    ．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；
    （3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．
    分析：（1）连接PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G，求出P点的坐标，然后求得点A、B、C的坐标用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
    （2）因为△ABP和△CBP的面积是菱形ABCP面积的
    1
    2
    ，故过点A、C作BP的平行线，与抛物线的交点即是满足条件的点M．
    （3）将原方程配方后得到抛物线的顶点Q（2，-
    		3
    3
    ），然后作点P关于y轴的对称点P'，则P’（-2，
    		3
    ）．连接P'Q，则P'Q是最短总路径，根据勾股定理，可得P′Q=
    8
    		3
    3
    ．
    解答：解：（1）连接PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G，
    ∵⊙P与y轴相切于点A，
    ∴PA⊥y轴，
    ∵P（2，
    		3
    ），
    ∴OG=AP=2，PG=OA=
    		3
    ，
    ∴PB=PC=2，
    ∴BG=1，
    ∴CG=1，BC=2．
    ∴OB=1，OC=3．
    ∴A（0，
    		3
    ），B（1，0），C（3，0），
    根据题意设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），
    则(0-1)(0-3)a=
    		3
    ，
    解得：a=
    		3
    3
    ．
    故二次函数的解析式为：y=
    		3
    3
    x2-
    4
    		3
    3
    x+
    		3
    ．

    （2）∵点B（1，0），点P（2，
    		3
    ），
    ∴BP的解析式为：y=
    		3
    x-
    		3
    ；
    则过点A平行于BP的直线解析式为：y=
    		3
    x+
    		3
    ，过点C平行于BP的直线解析式为：y=
    		3
    x-3
    		3
    l2，
    从而可得①：
    		3
    x+
    		3
    =
    		3
    3
    x2-
    4
    		3
    3
    x+
    		3
    ，
    解得：x1=0，x2=7，
    从而可得满足题意的点M的坐标为（0，
    		3
    ）、（7，8
    		3
    ）；
    ②
    		3
    x-3
    		3
    =
    		3
    3
    x2-
    4
    		3
    3
    x+
    		3
    ，
    解得：x1=3，x2=4，
    从而可得满足题意的点M的坐标为：（3，0）、（4，
    		3
    ）
    综上可得点M的坐标为（0，
    		3
    ），（3，0），（4，
    		3
    ），（7，8
    		3
    ）．

    （3）∵y=
    		3
    3
    x2-
    4
    		3
    3
    x+
    		3
    =
    		3
    3
    (x2-4x+3)=
    		3
    3
    (x-2)2-
    		3
    3
    ，
    ∴抛物线的顶点Q（2，-
    		3
    3
    ）．
    作点P关于y轴的对称点P'，则P'（-2，
    		3
    ）．
    连接P'Q，则P'Q是最短总路径，根据勾股定理，可得P'Q=
    8
    		3
    3
    ．
    ．
    点评：此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称最短路径、菱形的性质，难点在第二问，关键是利用平行线的性质得出点M的寻找办法，难度较大．
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