Question

已知BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E，DF∥AB交BC于F．
（1）求证：四边形BFDE为菱形；
（2）若AB=6，BC=3，求菱形BFDE的边长．

Answer 1

分析：（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠BDE，然后求出∠ABD=∠BDE，根据等角对等边的性质可得BE=DE，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）设菱形的边长为x，先求出△AED和△ABC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴平行四边形BFDE为菱形；

（2）解：设BE=DE=x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AE

AB

，
即

x

3

=

6-x

6

，
解得x=2．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，先证出平行四边形，然后找出邻边相等是本题的难点．