Question

18．如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，AB，AD于点E，F，G，H．
（1）求证：CE=CF；
（2）当E为弧$\widehat{CG}$中点时，求证：BE²=CE•CB．

Answer 1

分析 （1）连接AE，AF，由四边形ABCD是菱形，得到∠ACB=∠ACF，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠ACE=∠ACF=∠AFC，推出∠EAC=∠FAC，即可得到结论；
（2）由E为弧$\widehat{CG}$中点，得到∠CAE=∠BAE，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ACE=∠AEC=∠BAC=∠B+∠BAE，得到BE=AE=AC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AE，AF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACF，
∵AE=AC=AF，
∴∠AEC=∠ACE=∠ACF=∠AFC，
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠ACE，
∠CAF=180°-∠ACF-∠AFC，
∴∠EAC=∠FAC，
∴$\widehat{CE}=\widehat{CF}$，
∴CE=CF；
（2）解：∵E为弧$\widehat{CG}$中点，
∴∠CAE=∠BAE，
∵AB=BC，AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=∠BAC=∠B+∠BAE，
∴∠B=∠BAE，
∴BE=AE=AC，
∴△ABC∽△CAE，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{AC}$，
∴AC²=BC•CE，
即BE²=CE•CB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键．