Question

如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4，以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系。

（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L；
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使△PDB为等腰三角形的点P有几个？（不必求点P的坐标，只需说明理由）

Answer 1

解：（1）∵DC∥AB，AD=DC=CB，
∴ ∠CDB=∠CBD=∠DBA，∠DAB=∠CBA，
∴∠DAB=2∠DBA，∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠DAB=60°，∠DBA=30°，
∵AB=4，∴DC=AD=2，
Rt△AOD中，OA=1，OD=，
∴A（-1，0），D（0，），C（2，）。
（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（-1，0），B（3，0），
，
将点D（0，）的坐标代入上式得，，
，
其对称轴L为直线x=1。
（3）△PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P₁，P₁D=P₁B，△P₁DB为等腰三角形；
②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃，△P₂DB，△P₃DB为等腰三角形；
③与②同理，L上也有两个点P₄、P₅，使得BD=BP₄，BD=BP₅。
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使△PDB为等腰三角形的点P有5个。