Question

已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB，AD交于点M，N（不与点B，A，D重合），设DN=x，四边形AMPN的面积为y，在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式。
（1）如图1，点P与点O重合；
（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；
（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB。

Answer 1

解：（1）当x变化时，y不变．如图1，；
（2）当x变化时，y不变， 如图2，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD， ∴四边形AFPE是矩形，PF=PE， ∴四边形AFPE是正方形， ∵∠ADC=90°， ∴PE∥CD， ∴△APE∽△ACD， ∴， ∵AP=2PC，CD=3， ∴， ∴PE=2， ∵∠FPE=90°，∠MPN=90°， ∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°， ∴∠NPE=∠MPF， ∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF， ∴△PEN≌△PFM， ∴；
（3）x变化，y变化, 如图3，，0<x＜3。