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    小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：

    （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为       ；

    （2）求正方形MNPQ的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：

    （3）如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若，则AD的长为       。

     

    【答案】

    （1）a

    （2）∵△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四个全等的等腰直角三角形面积和为，正方形ABCD的面积为，∴。

    （3）

    【解析】（1）由△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形可知△AER，△BFS，△CGT，△DHW也是全等的等腰直角三角形，从而得新的正方形的边长FR=FA＋AR=FA＋AE=FA＋BF=a。

    （2）由正方形ABCD的面积等于△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四个全等的等腰直角三角形面积和可知。

    （3）如图，延长DP交BC于点H，

    由可求得等边△RPQ的边长。

    设等边△ABC的边长为a，AD=BE=CF=x，则BD=CE=。

    由等边三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，得

    DH=，BH=，EH=，

    PH=，DR=EP=。

    由DH=DR＋RP＋PH得：，

    解得，即AD的长为。

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•博野县模拟）阅读下面材料：
    小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

    小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．
    请你回答：图2中△BCE的面积等于
    2
    2
    ．
    请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：
    如图3，已知△ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．
    （1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
    （2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于
    3
    3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•海淀区二模）阅读下面材料：
    小明遇到这样一个问题：
    我们定义：如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α （0°＜α＜360°） 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形．如等边三角形就是一个旋转角为120°的旋转对称图形．如图1，点O是等边三角形△ABC的中心，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．

    小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．
    请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：
    如图3，在等边△ABC中，E1、E2、E3分别为AB、BC、CA 的中点，P1、P2，M1、M2，N1、N2分别为AB、BC、CA的三等分点．
    （1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；
    （2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积为
    a
    7
    a
    7
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•北京）阅读下面材料：
    小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
    小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
    请回答：
    （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为
    a
    a
    ；
    （2）求正方形MNPQ的面积．
    （3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
    如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
    		3
    3
    ，则AD的长为
    2
    3
    2
    3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•南开区一模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CBO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构成一个三角形，在计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而等到的△BCE即时以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．
    （I）请你回答：图2中△BCE的面积等于
    2
    2
    ．
    （II）请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于
    3
    3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下面资料：
    小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值．
    小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，由此继续推理，从而解决了这个问题．

    （1）直接写出S1=
    19a
    19a
    （用含字母a的式子表示）．
    请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
    （2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积．
    （3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值．

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