Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．
（1）求AC的长；
（2）设M为AC上一动点，
①当M运动至何处时，线段DM的长度最短，试在图1中画出符合要求的线段DM，并求此时DM的长；
②如图2，当点M运动至AC中点处时，另一动点N从点C出发，以每秒1cm的速度沿CB向点B运动，设点N的运动时间为t秒．求当t 为何值时，将矩形ABCD沿直线MN折叠，可使得点C恰与点A重合？

Answer 1

分析：（1）直接根据勾股定理即可得出结论；
（2）①作DE⊥AC于点E，此时，当M点运动到E点时DM长度最短，在矩形ABCD中根据S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

AC•DE即可得出DE的长；
②当N点运动到使MN⊥AC于点M时，矩形ABCD沿直线MN折叠，折叠后点C恰与点A重合，连结AN．设CN=x，由于点A、C关于直线MN对称，所以AN=NC=x，故BN=BC-CN=8-x，在Rt△ABN中根据AB²+BN²=AN²即可得出结论．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠B=90°
∴AB²+BC²=AC²，即6²+8²=AC²，
解得，AC=10；

（2）①如图1，作DE⊥AC于点E，此时，当M点运动到E点时DM长度最短，
在矩形ABCD中，AD=BC=8，CD=AB=6，
∵S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

AC•DE，即

1

2

×6×8=

1

2

×10×DE，
∴DE=

24

5

；
②如图2，当N点运动到使MN⊥AC于点M时，矩形ABCD沿直线MN折叠，折叠后点C恰与点A重合，连结AN．设CN=x，
∵点A、C关于直线MN对称，
∴AN=NC=x
∴BN=BC-CN=8-x，
在Rt△ABN中由勾股定理得，AB²+BN²=AN²，即6²+（8-x）²=x²
解得x=

25

4

，
所以t=

25

4

÷1=

25

4

（秒）．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到矩形的性质、直角三角形的性质及图形反折变换的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．