Question

如图，已知，四边形ABCD为菱形，点E、F分别是线段DC和BC延长线的点，AE与BC交于点M，AF与CD交于点N，且∠BAD=2∠EAF．
（1）当∠B=60°，如图1，求证：CE•CF=AB²；
（2）当∠B=90°，如图2，则线段CE、CF、AB之间的数量关系是

2AB²=CE•CF

；
（3）在（1）的条件下，若CM：CF=1：6，S 四边形AMCN=9

3

，求tan∠F的值．

Answer 1

分析：（1）如图1，连接AC，由菱形的性质可以得出△ABC是等边三角形，进而就可以得出△ACE∽△FCA，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（2）如图2，连接AC，可以得出△ACE∽△FCA，就可以得出AC²=CF•CE，由勾股定理就可以求出2AB²=CE•CF；
（3）如图1，作AG⊥BC于G，NH⊥CF与H，根据条件可以得出△ABM≌△ACN，△ACM≌△ADN，就可以得出S_{四边形AMCN}=S_△ABC，就可以求出菱形的边长，设MC=a，FC=6a，由△AMF的面积-△CNF的面积=S_{四边形AMCN}，就可以得出求出a值，进而就可以求出GF的值而求出结论．

解答：解：（1）如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°．
∵∠B=60°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠ACB=∠BAC=∠DAC=∠ACD=60°，
∴∠BAM+∠CAM=60°，∠DAN+∠CAN=60°．
∵∠B=60°，
∴∠ACB=∠BAC=∠B，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC．
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠EAF=60°．
∴∠EAC+∠FAC=60°．
∵∠FAC+∠F=∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠F．
∵∠BCE=∠DCF，且∠ACB=∠ACD=60°，
∴∠ACE=∠ACF，
∴△ACE∽△FCA，
∴

AC

FC

=

CE

AC

，
∴AC²=CE•CF，
∴CE•CF=AB²；

（2）2AB²=CE•CF
如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°．
∵∠B=90°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠BAC=∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠BAM+∠CAM=45°，∠DAN+∠CAN=45°．
∵∠B=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC²=AB²+BC²，
∴AC²=2AB²．
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠EAF=60°．
∴∠EAC+∠FAC=45°．
∵∠FAC+∠F=∠ACB=45°，
∴∠EAC=∠F．
∵∠BCE=∠DCF，且∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACE=∠ACF，
∴△ACE∽△FCA，
∴

AC

FC

=

CE

AC

，
∴AC²=CE•CF，
∴2AB²=CE•CF；

（3）如图1，作AG⊥BC于G，NH⊥CF与H，
∴∠AGB=∠NHC=90°．
∵∠B=∠NCH=60°，
∴∠BAG=∠CNH=30°，
∴BG=

1

2

AB，CH=

1

2

CN．
∴AG=

3

2

BG，NH=

3

2

CH．
∵∠BAM+∠CAM=60°，∠DAN+∠CAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，∠CAM=∠DAN．
在△ABM和△ACN中

∠BAM=∠CAN AB=AC ∠B=∠ACN

，
∴△ABM≌△ACN（ASA），
∴S_△ABM=S_△ACN．
∴S_{四边形AMCN}=S_△ABC=9

3

，
∴

1

2

BC•AG=9

3

．
设AB=BC=a，
∴BG=

1

2

a，AG=

3

2

a．
∴

1

2

×

3

2

a×a=9

3

，
解得：a=6．
∴AG=3

3

，BG=3．
在△ACM和△ADN中

∠CAM=∠DAN AC=AD ∠ACM=∠D

，
∴△ACM≌△ADN（ASA）
∴MC=ND．
∵CM：CF=1：6，设CM=x，则CF=6x，CN=6-x，
∴CH=

6-x

2

，NH=

3 (6-x)

2

∴

1

2

×7x×3

3

-6x×

3 (6-x)

2

×

1

2

=9

3

，
解得：x₁=-3（舍去），x₂=2．
∴CF=12，
∴GF=15．
∴tan∠F=

3 3

15

=

3

5

．

点评：本题考查了菱形的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用等边三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形相似和全等是关键．