Question

如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，证△EAQ≌△EAF，
推出EF=BQ即可；
（2）根据△EAQ≌△EAF，EF=BQ得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；
（3）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据折叠和已知得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，证△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可．
解答：（1）EF=BE+DF，
证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，
在△ADF和△ABQ中
，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAQ=45°，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中

∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF．

（2）解：AM=AB，
理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，
∴×BQ×AB=×FE×AM，
∴AM=AB．

（3）AM=AB，
证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵折叠后B和D重合，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，
在△ADF和△ABQ中
，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠FAE=∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中

∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=BQ，
∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，
∴×BQ×AB=×FE×AM，
∴AM=AB．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，题目比较典型，证明过程类似．