Question

设自然数n使2n+1和3n+1是完全平方数．
（1）求证：40|n．
（2）5n+3能否为质数？

Answer 1

分析：（1）由2n+1是完全平方数，可得2n+1被8除余1，先证明8|n，再证明5|n，即可证明40|n；
（2）由2n+1及3n+1都是完全平方数，可设2n+1=k²及3n+1=m²（k，m∈N）则5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k²-m²=（2k+m）（2k-m），然后得出矛盾即可证明．

解答：证明：（1）∵2n+1是完全平方数，
∴2n+1被8除余1，
∴n为偶数，
∴3n+1为奇数，
又∵3n+1是完全平方数，
∴3n+1被8除余1，
∴8|3n，
∵（8，3）=1，
∴8|n．由x²=0，1，4（mod5），及（3n+1）+（2n+1）=5n+2，
得2n+1被5除均余1，于是5|（3n+1）-（2n+1），
即5|n，
∵（8，5）=1，
∴40|n；

（2）由2n+1及3n+1都是完全平方数，可设2n+1=k²及3n+1=m²（k，m∈N），
则5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k²-m²=（2k+m）（2k-m），
显然2k+m＞1，若2k-m=1，即2k=m+1，
从而5n+3=2k+m=2m+1，
于是（m-1）²=m²-（2m+1）+2=（3n+1）-（5n+3）+2=-2n＜0，
这与（m-1）²≥0矛盾，故2k-m＞1，
所以5n+3是合数，
即5n+3不能为质数．

点评：本题考查了完全平方数及数的整除性问题，难度较大，关键是正确根据题意进行逻辑推理．