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(2013•浙江一模)阅读并解答下列问题:

问题一.如图1,在?ABCD中,AD=20,AB=30,∠A=60°,点P是线段AD上的动点,连PB,当AP=
15
15
时,PB最小值为
15
3
15
3

问题二.如图2,四边形ABCD是边长为20的菱形,且∠DAB=60°,P是线段AC上的动点,E在AB上,且AE=
1
4
AB
,连PE,PB,问当AP长为多少时,PE+PB的值最小,并求这个最小值.
问题三.如图3,在矩形ABCD中,AB=20,CB=10,P,Q分别是线段AC,AB上的动点,问当AP长为多少时,PQ+PB的值最小,并求这个最小值.
分析:(1)如图1,过点B作BP⊥AD于P,根据直角三角形的性质和勾股定理就可以求出结论;
(2)如图2,连接BD、ED交AC于点P,作DF⊥AB于F.由菱形的性质可以得出AC的值,再由△APE∽△CPD就根据相似三角形的性质就可以得出结论;
(3)作B关于AC的对称点B′,连结AB′,则N点关于AC的对称点N′在AB′上,这时,B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值,等于B到AB′的距离BH′,连结B与AB′和DC的交点P,再由三角形的面积公式可求出S△ABP的值,根据对称的性质可知∠PAC=∠BAC=∠PCA,利用勾股定理可求出PA的值,再由S△ABP=
1
2
PA•BH′即可求解.
解答:解:(1)如图1,过点B作BP⊥AD于P,
∴∠APB=90°.
∵∠A=60°,
∴∠ABP=30°,
∴AP=
1
2
AB.
∵AB=30,
∴AP=15.
在Rt△ABP中,由勾股定理,得
BP=
302-152
=15
3


(2)如图2,连结BD,连结DE交AC于点P,作DF⊥AB于F.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AB∥CD.AC⊥BD,DO=BO=
1
2
DB,AO=CO=
1
2
AC,∠OAB=
1
2
∠DAB.
∵∠DAB=60°,
∴△ABD和△CDB是等边三角形,
∴AF=
1
2
AB=10,.
在Rt△ADF中,由勾股定理,得
DF=10
3

∵AE=
1
4
AB,且AB=20,
∴AE=5.
∴EF=5.
在Rt△EFD中,由勾股定理,得
DE=
300+25
=5
13

∴BP+PE的最小值为5
13

在Rt△ABO中,由勾股定理,得
AO=10
3

∴AC=20
3

∴△AEP∽△CDP,
AE
DC
=
AP
PC

5
20
=
AP
20
3
-AP

∴AP=4
3

答:当AP长为4
3
时,PE+PB的值最小为5
13


(3)如图3,作B关于AC的对称点B′,作B′Q⊥QB于Q,交AC于P.
连结AB′,则Q点关于AC的对称点H′在AB′上,
∴∠AHB=∠AHB′=90°,BH=B′H,
∴AB′=AB,
∴∠AB′H=∠ABH.
这时,B到P到Q的最小值等于B→P→H′的最小值,
等于B到AB′的距离BH′,
连结AB′和DC的交点E,
则S△ABE=
1
2
×20×10=100,
由对称知识,∠EAC=∠BAC=∠ECA,
所以EA=EC,令EA=x,则EC=x,ED=20-x,
在Rt△ADE中,EA2=ED2+AD2
所以x2=(20-x)2+102
所以x=12.5,
因为S△ABE=
1
2
EA•BH′,
所以BH′=
2S△ABE
EA
=
100×2
12.5
=16.
在△BB′H′和△B′BQ中,
∠AB′H=∠ABH
∠BH′B′=∠B′QB
BB′=B′B

∴△BB′H′≌△B′BQ(SAS),
∴BH′=B′Q=10.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC=10
5

∵S△ABC=
AB•BC
2
=
AC•BH
2

20×10
2
=
10
5
•BH
2

∴BH=4
5

∴BB′=8
5

在Rt△BB′Q中,由勾股定理,得
QB=8,
∴AQ=12.
∵PQ⊥AB,
∴∠AQP=90°,且∠ABC=90°,
∴PQ∥BC.
∴△AQP∽△ABC,
AP
AC
=
AQ
AB

AP
10
5
=
12
20

∴AP=6
5

答:AP长为6
5
时,PQ+PB的值最小为16.
故答案为:15,15
3
点评:本题考查的是最短路线问题,考查轴对称的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,相似三角形的判定及性质的运用,等边三角形的性质的运用,解答第三问时作出B点关于直线AC对称的点B′是解答此题的关键.
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