Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，点E在BC上且∠BAE=30°，延长BC到点F使CF=BE，连接DF．
（1）判断四边形AEFD的形状，并说明理由；
（2）求DF的长度；
（3）若四边形AEFD是菱形，求菱形AEFD的面积．

Answer 1

解：
（1）四边形AEFD是平行四边形，
由已知矩形ABCD得：AD∥BC，AD=BC．
又BE=CF，∴AD=BC=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE．
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，
∴AE=2BE．
设AE=2x，BE=x，则有：（2x）²+x²=3²
解得：x=．
∴DF=AE=．

（3）∵四边形AEFD是菱形，
∴AD=AE=．
∴S_菱形=AB•AD=3×=．
分析：（1）由矩形的性质可知：AD∥BC，AD=BC，又BE=CF，可得：AD=EF，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从而可知：四边形AEFD为平行四边形；
（2）由（1）知：DF=AE，在Rt△ABE中，已知∠BAE，AB的值，运用勾股定理可将斜边AE的长即AE的长求出；
（3）若四边形AEFD是菱形，可知：AD=AE，又知菱形的高AB的长，代入菱形面积公式S=AB•AD进行求解即可．
点评：本题考查平行四边形的判定定理，勾股定理在解直角三角形中的应用及菱形面积的求法等知识点．