Question

已知如图，在平面直角坐标系中，A（-4，0），B（8，0），C（0，8），E为△ABC中AC边上一动点（不和A、C重合），以E为一顶点作矩形EFGH，使G、H点在x轴上，F点在BC上，EF交y轴于D点．并设EH长为x．
（1）求直线AC解析式．
（2）若矩形EFGH为正方形，求x值．
（3）设EF长为y，试求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据点A、B、C的坐标求出AB、OC的长，再根据△ABC和△EFC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求解即可；
（3）求出△ABC和△EFC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求解即可．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（-4，0），C（0，8），
∴

-4k+b=0 b=8

，
解得

k=2 b=8

，
∴直线AC解析式为y=2x+8；

（2）∵A（-4，0），B（8，0），C（0，8），
∴AB=8-（-4）=8+4=12，OC=8，
∴CD=8-x，
∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH=x，EF∥AB，
∴△ABC∽△EFC，
∴

CD

OC

=

EF

AB

，
即

8-x

8

=

x

12

，
解得x=4.8；

（3）∵EF∥AB，
∴△ABC∽△EFC，
∴

CD

OC

=

EF

AB

，
即

8-x

8

=

y

12

，
∴y=-

3

2

x+12．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的四条边都相等的性质，坐标与图形性质，熟记各性质并准确识图确定出相似三角形是解题的关键．