Question

在等腰直角三角形ABC的斜边AB所在的直线上有点P，满足S=AP²+BP²，求所有这样的P点，使得S=2CP²．

Answer 1

解：要使AP²+PB²=2PC²，当P为AB上时，假设P为中点时，AP=PB=PC，满足条件，
当点P不为中点时，过点C作AB的垂线，亦满足条件；
当点P在BA的延长线上时，过点P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC²=PF²+CF²，AP²=AE²+PE²=AE²+FC²=2CF²
PB²=BF²+PF²=PF²+（BC+CF）²=2PF²
AP²+PB²=2CF²+PF²+PF²
2PC²=2PF²+2CF²
所以AP²+PB²=2PC²，满足条件；
同理，当点P在AB的延长线上时，也满足条件；
综上可知：直线AB上的所有点都符合点P的要求．
分析：此题分两种情况讨论：①当P在线段AB上，②当P在直线AB上（线段AB以外的部分）；可利用勾股定理来探讨符合要求的点P有哪些．
点评：此题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面，做到不漏解．