Question

如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=-

3

3

x+m与x轴交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；
（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）（2）由图可作AF⊥x轴于F，根据直角三角形性质，用待定系数求E点坐标和的抛物线解析式；
（3）再作作PG⊥x轴于G，将四边形OAPE的面积S用x₀来表示，将问题转化为求函数最值问题．

解答：解：（1）作AF⊥x轴于F，
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=

3

∴点A（1，

3

）（1分）
代入直线解析式，
得-

3

3

×1+m=

3

，
∴m=

4 3

3

∴y=-

3

3

x+

4 3

3

当y=0时，-

3

3

x+

4 3

3

=0
得x=4，∴点E（4，0）（3分）

（2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为y=ax²+bx+c
∵抛物线过原点
∴c=0

a+b= 3 16a+4b=0

，
∴

a=- 3 3 b= 4 3 3

∴抛物线的解析式为y=-

3

3

x2+

4 3

3

x（6分）

（3）作PG⊥x轴于G，设P（x₀，y₀）
S_{四边形OAPE}=S_△AOF+S_梯形AFGP+S_△PGE
=

1

2

(

3

x0+3y0)=

1

2

(-

3

x

2 0

+5

3

x0)（8分）
=-

3

2

(x0-

5

2

)2+

25 3

8

当x0=

5

2

时，S_最大=

25

8

3

．（10分）

点评：此题考查知识点多，但题难度不大，需作辅多条辅助线，在直角三角形中解题，将问题转化为求函数最值问题．