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(2012•盐都区一模)问题提出
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
(1)已知:多项式M=2a2-a+1,N=a2-2a.试比较M与N的大小.
(2)已知:如图2,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a<b<c,现将△ABC 补成长方形,使得△ABC的两个顶
点为长方形的两个端点,第三个顶点落在长方形的这一边的对边上.
①这样的长方形可以画
3
3
个;
②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?
拓展延伸
已知:如图3,锐角△ABC(其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a<b<c,画其BC边上的内接正方形EFGH,使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?
分析:(1)相减后画出顶点式,即可得出答案;
(2)①画出图形,即可得出答案;②以最短边a为边的长方形周长最小,设△ABC的面积为S,三个长方形的周长分别为La,Lb,Lc,得出三个长方形的面积相等,都是2S,求出La=2(
2S
a
+a),Lb=2(
2S
b
+b),Lc=2(
2S
c
+c),再相减比较即可;
拓展延伸,设a边上的内接正方形边长为x,根据△AHG∽△ABC,求出x=
aha
a+ha
,根据a+ha最小和aha=2S得出x为最大.
解答:解:(1)∵M-N=(2a2-a+1)-(a2-2a)=a2+a+1=(a+
1
2
2+
3
4
>0,
∴M>N;
(2)①如图所示:

符合条件的图形有3个,
故答案为:3;

②以最短边a为边的长方形周长最小,
理由是:设△ABC的面积为S,三个长方形的周长分别为La,Lb,Lc
根据三角形的面积和长方形的面积可知:三个长方形的面积相等,都是2S,
La=2(
2S
a
+a),Lb=2(
2S
b
+b),Lc=2(
2S
c
+c),
La-Lb=2(a-b)(1-
2S
ab
),
∵S=
1
2
aha
1
2
ab(ha<b),
∴2S<ab,
∴1-
2S
ab
>0,
∵a<b,
∴a-b<0,
∴2(a-b)(1-
2S
ab
)<0,
∴La<Lb
同理Lb<Lc
∴La<Lb<Lc
拓展延伸
a边上的内接正方形面积最大,
理由是:a边上的内接正方形边长为x,

∵△AHG∽△ABC,
x
a
=
ha-x
ha

x=
aha
a+ha

由上题可知,a+ha最小,且aha=2S(定值),
∴x为最大,
∴a边上的内接正方形面积最大.
点评:本题考查了相似三角形的性质和判定,三角形的面积的应用,主要考查学生的计算能力和理解能力,题目比较好,但是有一定的难度.
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1
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