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如图,已知在平面直角坐标系中,直角梯形ABCD,AB∥CD,AD=CD,∠ABC=90°,A、B在x轴上,点D在y轴上,若tan∠OAD=
4
3
,B点的坐标为(5,0).
(1)求直线AC的解析式;
(2)若点Q、P分别从点C、A同时出发,点Q沿线段CA向点A运动,点P沿线段AB向点B运动,Q点的速度为每秒
5
个单位长度,P点的速度为每秒2个单位长度,设运动时间为t秒,△PQE的面积为S,求S与t的函数关系式(请直接写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,过P点作PQ的垂线交直线CD于点M,在P、Q运动的过程中,是否在平面内有一点N,使四边形QPMN为正方形?若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据正切值表示出AO、DO,由勾股定理求出AD,由条件可以表示出CD,由CD=OB,求出点A、点C的坐标,由待定系数法就可以求出直线AC的解析式;
(2)先求出∠BAC的正弦值,然后根据三角形的面积公式分段进行计算就可以表示出S与t的函数关系式,而求出结论;
解答:解:(1)∵tan∠OAD=
4
3
,且tan∠OAD=
DO
AO

DO
AO
=
4
3

设DO=4x,AO=3x,在Rt△AOD中,由勾股定理得:
AD=4x.
∵AD=CD,
∴CD=5x,
∵AB∥CD,∠ABC=90°,
∴∠DOB=∠ODC=∠DCB=90°,
∴四边形OBCD是矩形,
∴OB=CD=5x.
∵B(5,0),
∴OB=5,
∴5x=5,
∴x=1,
∴AO=3,DO=4,
∴A(-3,0),C(5,4).
设直线AC的解析式为,y=kx+b,由题意得
0=-3k+b
4=5k+b

解得:
k=
1
2
b=
3
2

故直线AC的解析式为:y=
1
2
x+
3
2


(2)∵当x=0时,y=
3
2

∴E(0,
3
2
),
∴OE=
3
2

∴DE=
5
2

在Rt△CDE和Rt△AOE中由勾股定理得:
CE=
5
5
2
,AE=
3
5
2

∴AC=4
5

∵OA=3,OB=5,
∴AB=8,
∵BC=4,
∴tan∠BAC=
1
2
,sin∠BAC=
5
5

∴当0<t<
5
2
时,S=
2t(4
5
-
5
t)
5
5
2
-
2t×
3
2
2
,=-t2-
5
2
t;
5
2
<t≤4时,S=
2t×
3
2
2
-
2t(4
5
-
5
t)
5
5
2
=t2-
5
2
t;
综上所述,
S=
-t2+
5
2
t(0<t<
5
2
)
t2-
5
2
t(
5
2
<t≤4)


(3)①如图1,作NH⊥CD与H,MG⊥AB与G,QR⊥AB与R,
∴∠MHN=∠MGP=∠PRQ=90°,
∵四边形QPMN为正方形,
∴MP=MN=PQ,∠NMP=∠MPQ=90°,
∴∠NMH=∠GMP=∠QPR,
∵在△MHN和△PRQ中,
∠MHN=∠PRQ
∠NMH=∠QPR
MN=QP

∴△MHN≌△PRQ(AAS).
∴NH=QR.
在△GMP和△RPQ中,
∠MGP=∠PRQ
∠GMP=∠QPR
MP=PQ

∴△GMP≌△RPQ(AAS),
∴GM=RP.GP=QR.
∵GM=OD=4cm,
∴RP=4cm.
AR
4
5
-
5
t
=
4
5
8

∴AR=8-2t,
∴PR=8-2t-2t=4,
∴t=1,
∴AR=6,AP=2,
∴PO=1,
QR
AR
=
1
2

∴QR=3,
∴GO=4,
∴HN=3,MH=4,.
∴H、O在同一直线上,
∴N(0,7)
②如图2,作NS⊥CD于S,QH⊥AB于H,MR⊥AB于R,
∴∠NSM=∠QHP=∠PRM=90°,
∵四边形PQNM是正方形,
∴∠QPM=∠PMN=90°,PQ=PM=MN,
∴∠HPQ=∠PMR=∠NMS,
∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM,
∴NS=QH=PR,HP=MR=SM=4,
AH
AQ
=
8
4
5

AH
4
5
-
5
t
=
8
4
5

∴AH=8-2t,
∴2t-(8-2t)=4,
∴t=3,
∴AH=2,HO=1,
∴QH=SN=1,OR=4,
∴SM=OR,
∴S在y轴上,
∴N(0,5)
综上所述,N点的坐标为:(0,7)或(0,5)
点评:本题是一道一次函数的综合试题,考查了特殊角的三角函数值的运用,矩形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用.
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(2)分别写出点A″、B″、C″的坐标;
(3)求△ABC的面积.

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(2012•樊城区模拟)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=
m
x
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1
2
,过点A作AC⊥x轴于点C,AC=1,OC=2.求:
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式;
(2)求不等式kx+b-
m
x
<0的解集(请直接写出答案).

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(3,2)
(3,2)
、B1
(0,-3)
(0,-3)
、C1
(5,-1)
(5,-1)

(2)在图上画出平移后的三角形△A1B1C1
(3)请计算△ABC的面积.

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