Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=12，∠C=60°，DC=4，动点P从点A出发沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动，同时动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．
（1）当四边形PDCQ是平行四边形时，求t的值；
（2）当四边形PDCQ是等腰梯形时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的对边相等可得PD=CQ，然后列出方程求解即可；
（2）过点P作PM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰梯形的性质可得CN=MQ，四边形MNDP是矩形，根据矩形的对边相等可得MN=PD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CDN=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CN=

1

2

CD，然后根据CQ的长度列出方程求解即可．

解答：解：（1）四边形PDCQ是平行四边形时，PD=CQ，
∴6-t=2t，
解得t=2；

（2）四边形PDCQ是等腰梯形时，PQ=DC，
过点P作PM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
则CN=MQ，四边形MNDP是矩形，
∴MN=PD=6-t，
∵∠C=60°，
∴∠CDN=30°，
∴CN=

1

2

CD=

1

2

×4=2，
∴BC=2t=6-t+2+2，
解得t=

10

3

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的对边相等的性质，梯形的问题，难点在于作辅助线，本题作辅助线构造出矩形和直角三角形是解题的关键．