Question

如图，直线y=

1

2

x+1交y轴于点A，过该直线上一点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）抛物线y=ax²+

17

4

x+c过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在x轴上是否存在一点D，使AD+BD最短？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P（t，0）为线段OC上任一点（不与点O、C重合），过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．
①求MN的最大值；
②连接CM、BN，试求：当t为何值时，四边形BCMN为菱形？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）先令x=0求出y的值即可得出A点坐标，再把C点横坐标代入直线y=

1

2

x+1求出y的值即可得出B点坐标，把AB两点坐标代入抛物线即可得出a、c的值，故可得出抛物线的解析式；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则线段A′B的长即为AD+BD最短，再利用待定系数法求出直线A′B的解析式，故可得出D点坐标；
（3）①先用含t的代数式表示P、M、N的坐标，再根据MN=NP-MP，即可得到线段MN的长与t的函数关系式为MN，然后运用配方法可求出MN的最大值；
②若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．

解答：解：（1）∵令x=0，则y=1，
∴A（0，1），
∵BC⊥x轴，C（3，0），
∴当x=3时，y=

1

2

×3+1=

5

2

，
∴B（3，

5

2

），
∵AB两点均在抛物线y=ax²+

17

4

x+c上，
∴

c=1 9a+ 51 4 +1= 5 2

，解得

a=- 5 4 c=1

，
∴抛物线的解析式为：y=-

5

4

x²+

17

4

x+1；

（2）作出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则线段A′B的长即为AD+BD最短，
∵A（0，1），B（3，

5

2

），
∴A′（0，-1），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

b=-1 3k+b= 5 2

，解得

k= 7 6 b=-1

，
∴直线A′B的解析式y=

7

6

x-1；
∴当y=0时，

7

6

x-1=0，解得x=

6

7

，
∴D（

6

7

，0）；

（3）①∵P（t，0），
∴M（t，

1

2

t+1），N（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
∴MN=NP-MP=（-

5

4

t²+

17

4

t+1）-（

1

2

t+1）=-

5

4

t²+

15

4

t，即线段MN的长与t的函数关系式为MN=-

5

4

t²+

15

4

t（0≤t≤3）；
∵-

5

4

t²+

15

4

t=

15

4

（t²-3t）=-

5

4

（t-

3

2

）²+

45

16

，
∴当t=

3

2

时，MN的长最大，最大值是

45

16

；
②∵若四边形BCMN为平行四边形，
∴MN=BC，即-

5

4

t²+

15

4

t=

5

2

，解得t₁=1，t₂=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形；
当t=1时，MN=-

5

4

×1²+

15

4

×1=

5

2

，MP=

1

2

×1+1=

3

2

，PC=3-1=2，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

，
∴MN=MC，此时平行四边形BCMN为菱形；
当t=2时，MN=-

5

4

×2²+

15

4

×2=

5

2

，MP=

1

2

×2+1=2，PC=3-2=1，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

22+12

=

5

∴MN≠MC，此时平行四边形BCMN不是菱形．
∴当t=1时，四边形BCMN为菱形．

点评：本题考查了的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，二次函数的性质，平行四边形以及菱形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．