Question

如图，在直角坐标系中，半径为5的圆与x轴交于A、B两点，y轴相切于T点，且A，T是直线y=-2x+4与x轴，y轴的交点．
（1）求点T、A、B的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，并且顶点D在圆上，求D点坐标；
（3）求出（2）中A、B、D三点且使△ABD的面积是27的抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）设圆心为M，连接MT，MA，MB，过M作ME⊥AB于E．
∵OT与圆M相切，且T为切点，
易知：T（0，4），
∴ME=OT=4，
∴M（5，4），
易知：A（2，0），根据圆的对称性可知：B（8，0），

（2）根据抛物线和圆的对称性可知点D和点M必在抛物线的对称轴x=5上，
由（1）知ME=4，
因此D（5，9）或（5，-1）．

（3）已知S_△ABD=AB•|y_D|=3•|y_D|=27，
∴|y_D|=9，由（2）知D（5，9），
设抛物线的解析式为y=a（x-5）²+9，则有a（8-5）²+9=0，a=-1，
∴y=-（x-5）²+9．
分析：（1）先根据直线AT的解析式求出T、A的坐标，根据OT的长和圆的半径即可得出圆心的坐标，根据圆的对称性以及A点的坐标即可求出B点的坐标．
（2）根据圆和抛物线的对称性可知，抛物线的顶点D和圆心M同在抛物线的对称轴上．设圆心为M，连接MA，MB，设过M且与y轴平行的直线与AB交于E，根据勾股定理即可求出ME的长，根据圆的半径的长和ME的长即可求出D点的坐标．
（3）根据△ABD的面积即可求出符合条件的D点，然后用待定系数法求解即可．
点评：本题主要考查了切线的性质、圆和抛物线的对称性、二次函数解析式的确定等知识．要注意（2）中不确定D点在x轴上方还是下方时要分类讨论不要漏解．