Question

如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x²+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）。

（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）。
① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0）
故可得c=0，b=4
所以抛物线的解析式为
由
得当x=2时，该抛物线的最大值是4。
（2）① 点P不在直线ME上
已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），
设直线ME的关系式为y=kx+b
于是得，解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8。
由已知条件易得，当时，OA=AP=，

∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8
∴ 当时，点P不在直线ME上。
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴ OA=AP=t
∴ 点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t²+4t）
∴AN=-t²+4t （0≤t≤3），
∴ AN-AP=（-t²+4t）-t=-t²+3t=t（3-t）≥0 ，
∴ PN=-t²+3t
（i）当PN=0，即t=0或t=3时，
以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，
此三角形的高为AD
∴S=DC·AD=×3×2=3。
（ii）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S=（CD+PN）·AD=[3+（-t²+3t）]×2=-t²+3t+3
当-t²+3t+3=5时，解得t=1、2
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5
当t=1时，此时N点的坐标（1，3）
当t=2时，此时N点的坐标（2，4）。