Question

如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．
（1）点A坐标是______，点B的坐标______，BC=______．
（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．
（3）在（2）的条件下，可得点Q的横坐标为，在x轴上是否存在点M，使得MQ+MB的值最小？如果存在求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x+6
∴当x=0时，y=6，
当y=0时，x=-8，
即点A的坐标是（-8，0），点B的坐标是（0，6），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（8，0），
∴OA=8，OC=8，OB=6，
由勾股定理得：BC==10，

（2）当P的坐标是（2，0）时，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA=8，P（2，0），
∴AP=8+2=10=BP，
∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，
∴∠AQP=∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO=∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴当P的坐标是（2，0）时，△APQ≌△CBP．

（3）B点关于x轴对称的点B′的坐标为（0，-6），
把点Q的横坐标为代入直线l可得y=×（）+6=，
则点Q的坐标为（，），
设直线B′Q的解析式为y=kx+b，则
，
解得，
故直线B′Q的解析式为y=3x-6，
把y=0代入y=3x-6可得0=3x-6，解得x=2，
故点M的坐标为（-2，0）．
故答案为：（-8，0），（0，6），10．
分析：（1）把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．
（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可．
（3）先找到B点关于x轴对称的点B′的坐标，把点Q的横坐标为代入直线l可得点Q的坐标，再根据待定系数法可得直线B′Q的解析式，把y=0代入该函数的解析式，即可求出点M的坐标．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，轴对称最短路线，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．