Question

已知直线l：y=-

3

3

x+

3

与x轴交于B，与y轴交于A，A₁、A₂、A₃…A_n都在直线l上，B₁、B₂、B₃…B_n都在x轴上，且△OA₁B₁，△B₁A₂B₂…，△B_n-1A_nB_n都是等边三角形，则第2014个等边三角形的面积为

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：根据等边三角形的性质以及锐角三角函数关系得出CA₁，得出S_△OA1B1=

1

2

×A₁C×OB₁，进而求出A₂C′，得出S△A2B1B2，进而得出等边三角形的面积变化，求出答案即可．

解答：解：过点A₁作A₁C⊥OB，A₂C′⊥OB，
∵y=-

3

3

x+

3

，与x轴交于B，与y轴交于A，则y=0时，x=3，x=0时，y=

3

，
∴A（0，

3

），B（3，0），
∴tan∠ABO=

AO

BO

=

3

3

，
∴∠ABO=30°，
∴∠OAA₁=60°，
∴OA₁=AOsin60°=

3

2

，
∴CA₁=A₁Osin60°=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

，
∴S_△OA1B1=

1

2

×A₁C×OB₁=

1

2

×

3 3

4

×

3

2

=

9 3

16

=

9 3

42

，
由题意得：∠B₁A₁A₂=30°，
B₁A₂=

1

2

A₁B₁=

3

4

，
∴A₂C′=sin60°B₁A₂=

3

2

×

3

4

=

3 3

8

，
∴S△A2B1B2=

1

2

×

3

4

×

3 3

8

=

9 3

64

=

9 3

43

，
…
∴第2014个等边三角形的面积为：

9 3

42015

．
故答案为：

9 3

42015

．

点评：此题主要考查了一次函数综合以及等边三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，得出三角形面积变化规律是解题关键．