Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为线段AB上的点，且满足AE=AD，BE=BC，过E作EF∥BC交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明|

PD

AD

-

PC

BC

|=

2PF

EF

的理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,梯形

专题：证明题

分析：可过D、F分别作DM∥AB交EF于M，FN∥AB交BC于N，则可得平行四边形ADME和平行四边形BEFN以及△DMF∽△FNC，进而得出对应线段成比例，再通过线段之间的转化，即可得出结论．

解答：证明：如图，
过D、F分别作DM∥AB交EF于M，FN∥AB交BC于N，
得平行四边形ADME和平行四边形BEFN．
所以FM=EF-AD，CN=BC-EF，DM=AE=AD，FN=BE=BC．
由△DMF∽△FNC，得

FM

CN

=

DM

FN

，即

EF-AD

BC-EF

=

AD

BC

，
所以

AD+BC

AD•BC

=

2

EF

．
又因为

DF

DM

=

FC

FN

，即

DF

AD

=

CF

BC

．
所以当点P在线段CF上时，

PD

AD

-

PC

BC

=

PF+DF

AD

-

CF-PF

BC

=

PF

AD

+

PF

BC

=PF•

AD+BC

AD•BC

=

2PF

EF

，
同理，当点P在线段DF上时，

PC

BC

-

PD

AD

=

2PF

EF

．所以|

PD

AD

-

PC

BC

|=

2PF

EF

．

点评：本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质，能够利用其性质求解一些计算、证明问题．