Question

海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE＝10海里，DE＝30海里，且DE⊥EC，cos∠D＝.
（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值.

Answer 1

(1) 16.7（海里）．(2) ．

试题分析：（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE-AE即可求解；
（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF²=CB²-BF²=25²-x²=625-x²．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．
（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，
∴cos∠D=，
∴CE=40（海里），CD=50（海里）．
∵B点是CD的中点，
∴BE=CD=25（海里）
∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．
答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．
（2）设BF=x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，
∴CF²=CB²-BF²=25²-x²=625-x²．
在Rt△CFE中，∠CFE=90°，
∴CF²+EF²=CE²，即625-x²+（25+x）²=1600．
解得x=7．
∴sin∠BCF=．
考点: 解直角三角形的应用．