Question

如图，等边△ABC和等边△DEC，CE和AC重合，CE=

3

2

AB．
（1）求证：AD=BE；
（2）若CE绕点C顺时针旋转30°，连BD交AC于点G，取AB的中点F边FG．求证：BE=2FG．

Answer 1

分析：（1）利用SAS即可证明△CBE≌△CAD，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据旋转角的定义，可以得到∠ACE=30°，则∠GCD=90°，则AC⊥BD，可证明△BTG≌△DCG，从而得到FG是△ABD的中位线，然后证明Rt△BCE≌Rt△ACD，利用三角形的中位线定理以及全等三角形的性质即可确定．

解答：解：（1）证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，BC=AC，
在△CBE和△CAD中，

CE=CD ∠BCE=∠ACD CB=CA

，
∴△CBE≌△CAD（SAS），
∴AD=BE；

（2）过B作BT⊥AC于T，连AD，如图，
∵CE绕C顺时针旋转30°，
∴∠ACE=30°，
∴∠GCD=90°，
由勾股定理可得BT=

3

2

AB，
又∵CD=CE=

3

2

AB，
∴BT=CD．
在△BTG和△DCG中，

∠BTC=∠DCG ∠BGT=∠DGC BT=CD

，
∴△BTG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵F是AB的中点．
∴FG∥AD，FG=

1

2

AD．
则在Rt△BCE和Rt△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

∴Rt△BCE≌Rt△ACD．
∴BE=AD，
∴BE=2FG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，正确作出辅助线是关键．