Question

如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d₁，点P到点A的距离为d₂，试说明d₂=d₁+1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式：y=ax²，
∵拋物线经过点B（-4，4），
∴4=a•4²，解得a=，
所以抛物线的解析式为：y=x²；
过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，
∴OD=AD+OA=5，
∴C点坐标为（3，5）；

（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，
∵点P在抛物线y=x²上，
∴b=a²，
∴d₁=a²，
∵AF=OF-OA=PH-OA=d₁-1=a²-1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d₂==
=a²+1，
∴d₂=d₁+1；

（3）作直线y=1，过C点作y=1 的垂线，交抛物线于P点，则P即为所求的点．
由（1）得AC=5，
∴△PAC的周长=PC+PA+5
=PC+PH+6，
要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=x²，得到y=，
即P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，
∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．
分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax²，把B（-4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C点坐标（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d₁=a²，又AF=OF-OA=PH-OA=d₁-1=a²-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d₂=a²+1，
即有结论d₂=d₁+1；
（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11．
点评：本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax²；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．