Question

已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC，
（1）若点O在BC上，求证：AB=AC；
（2）若点O在△ABC的外部，则上述结论还成立吗？若成立请画出图形并完成证明过程，若不成立，请举出反例．

Answer 1

分析：（1）通过证明△BOE≌△COF得到∠B=∠C，进而得出OB=OC．
（2）过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，连接OB、OC，首先证明△BOE≌△COF，得到∠ABO=∠ACO，由OB=OC根据等边对等角得∠OBC=∠OCB，进而得到∠ABC=∠ACB，从而得出结论：AB=AC．

解答：（1）证明：过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF．
在Rt△BOE与Rt△COF中

OE=OF OB=OC

，
∴Rt△BOE≌Rt△COF．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）成立．
证明：如图，过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，连接OB、OC，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF．
又∵OB=OC，
∴△BOE≌△COF（HL）．
∴∠ABO=∠ACO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠ABO-∠OBC=∠ACO-∠OCB．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．