Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=∠BAD．
（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；
（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．

Answer 1

解：（1）证明：延长MB到G，使BG=DN，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADN．
∴AG=AN，BG=DN，∠1=∠4．
∴∠1+∠2=∠4+∠2=∠MAN=∠BAD．
∴∠GAM=∠MAN．
又AM=AM，
∴△AMG≌△AMN．
∴MG=MN．
∵MG=BM+BG．
∴MN=BM+DN．
（2）MN=BM-DN．
证明：在BM上截取BG，使BG=DN，连接AG．
∵∠ABC=∠ADC=90°，AD=AB，
∴△ADN≌△ABG，
∴AN=AG，∠NAD=∠GAB，
∴∠MAN=∠NAD+∠BAM=∠DAB，
∴∠MAG=∠BAD，
∴∠MAN=∠MAG，
∴△MAN≌△MAG，
∴MN=MG，
∴MN=BM-DN．
（3）MN=DN-BM．
分析：（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长MB到G，使BG=DN，连接AG．目的就是要证明三角形AGM和三角形ANM全等将MN转换成MG，那么这样MN=BM+DN了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形AMG和AMN中，只有一条公共边AM，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AND中，已知了一组直角，BG=DN，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AN，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠MAN=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出MN=GM了．
（2）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BM上截取BG，使BG=DN，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DN=BG，GM=MN，那么MN=GM=BM-BG=BE-DN．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在DN上截取DF，使DF=BM，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出∠DAF=∠BAM，AF=AM，那么MN=NF=DN-DF=BN-BM．
点评：本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．