Question

3．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF
（1）求证：△EBF≌△DFC；
（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（3）①△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形．（无需证明）
②△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形．（无需证明）
③△ABC满足AB=AC，∠BAC=150°时，四边形AEFD是正方形．（无需证明）

Answer 1

分析 （1）由△ABE与△BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△EBF与△DFC全等；
（2）利用（1）中全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形；
（3）①当AE=AD时，ADFE是菱形；
②当∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度数，则可得ADFE是矩形；
③当ADFE是正方形时，∠EAD=90°，且AE=AD，联立①②的结论即可．

解答 解：（1）∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠CBA=∠FBE}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF=AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD=DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF=AB=AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
∴∠FEA=∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=DC}\\{∠FEB=∠CDF}\\{EB=FD}\end{array}\right.$．
∴△EBF≌△DFC（SAS），

（2）∵△EBF≌△DFC，
∴EB=DF，EF=DC．
∵△ACD和△ABE为等边三角形，
∴AD=DC，AE=BE，
∴AD=EF，AE=DF
∴四边形AEFD是平行四边形；

（3）①若AB=AC，则平行四边形AEFD是菱形；
此时AE=AB=AC=AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；
②若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形；
由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD=90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，
即△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形；
③综合①②的结论知：当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形．
故答案是：①AB=AC；
②∠BAC=150°；
③AB=AC，∠BAC=150°．

点评 考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键．