Question

5．发现
如图①，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，当∠ACB=90°，∠B=30°，点A′恰好落在AB边上时，连接AB′．
（1）线段A′B′与AC的位置关系是平行；
（2）设△A′BC的面积为S₁，△AB′C的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是相等．
拓展
如图②，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C′，设旋转角为β，∠BCA=α，若AA′∥CB，则β=180°-2α（用含α的代数式表示），并求α的取值范围．
探究
如图③，将矩形ABCD绕其顶点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，且点C′落在CD的延长线上．
（1）当BC=1，AB=$\sqrt{3}$时，旋转角的度数为120°；
（2）若旋转角为β（0°＜β＜180°），∠BAC=α，则α=90°-$\frac{1}{2}$β（用含β的代数式表示）．

Answer 1

分析 发现（1）只要证明△ACA′是等边三角形即可解决问题．
（2）分别证明S_△ACB′=S_△ACA′，S_△A′BC=S_△ACA′，即可．
拓展先证明∠ACB=∠CAA′=∠CA′A=α，在△CAA′利用三角形内角和定理即可解决．
探究（1）先证明∠BAC=30°，再在等腰三角形△ACC′根据内角和定理即可解决．
（2）在等腰三角形△ACC′根据内角和定理即可解决．

解答 发现：
解：（1）如图①中，在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵CA=CA′，
∴△ACA′是等边三角形，
∴∠ACA′=∠CA′B′=60°，
∴A′B′∥AC，
故答为平行．
（2）∵A′B′∥AC，
∴S_△ACB′=S_△ACA′，
∵△ACA′是等边三角形，
∴AA′=AC，
∵AB=2AC，
∴AA′=A′B，
∴S_△A′BC=S_△ACA′，
∴S_△A′BC=S_△ACB，即S₁=S₂．
故答案为相等．
拓展：如图②中，∵CA=CA′，AA′∥BC，
∴∠ACB=∠CAA′=∠CA′A=α，
∴β+2α=180°，
∴β=180°-2α．（0＜α＜90°）
故答案为180°-2α．
探究：解：（1）如图③中，连接AC′、AC，
∵BC=1．AB=$\sqrt{3}$，∠B=90°
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAC=30°，
∵AB∥CC′，
∴∠ACC′=∠BAC=30°，
∵AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=30°，
∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=120°，
∴旋转角=120°
故答案为120°．
（2）由（1）可知∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2α，
∴β=180°-2α，
∴α=90°-$\frac{1}{2}$β．
故答案为α=90°-$\frac{1}{2}$β．

点评 本题考查四边形综合题，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．