Question

某商场想设计一幅周长为16米的矩形电子宣传屏，电子宣传屏设计费为每平方米3000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
①求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
②请你设计一个方案，使设计商能获得最多设计费，并求出这个费用．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）设S与x之间的函数关系式为S=kx+b，由矩形的面积公式就可以得出结论；
（2）根据矩形的面积越大设计费用越高，将（1）的解析式转化为顶点式由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）设S与x之间的函数关系式为S=kx+b，由题意，得
S=x（8-x）=-x²+8x，
∴S=-x²+8x．
∵

x＞0 8-x＞0

，
∴0＜x＜8．
答：S与x之间的函数关系式为：S=-x²+8x，自变量x的取值范围为：0＜x＜8；
（2）∵S=-x²+8x，
∴S=-（x-4）²+16．
∴a=-1＜0，
∴x=4时，S_最大=16．
∴矩形的长为4米，宽为4米，矩形的面积最大为16平方米．
∴设计商能获得最多设计费为：16×3000=48000元，
答：设计方案为：矩形的长为4米，宽为4米，
∴矩形的面积最大为16平方米，设计商能获得最多设计费为48000元．

点评：本题考查了矩形的面积公式的运用，二次函数的运用，二次函数的性质的运用，总价=单价×数量的运用，解答时求出函数关系式是关键．