练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物线y=
    16
    x2+bx+c    过点O、A两点．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
    （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
    精英家教网
    分析：（1）将O、A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
    （2）根据A点的坐标和直线OB的解析式可求出B点的坐标，进而可求出OA、AB、OB的长；设AC与OB的交点为E，连接OC，由于A、C关于OB对称，那么OB垂直平分线段AC，则有BC=AB，AE=CE，OA=OC，由此可求出OC、BC的长，在Rt△BCO中，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，进而可得到AC的长；过C作CD⊥x轴于D，易证得△CDA∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出AD、CD的长，从而得到C点的坐标；然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；
    （3）在（2）中已经证得BC⊥OC，则OC是⊙O1的切线，由于P、C不重合，所以P点在第一象限；连接O1P，若存在符合条件的Q点，那么点Q必为直线O1P与抛物线的交点，所以解决此题的关键是求出O1、P的坐标；过O1作O1H⊥x轴于H，则O1H是梯形CDAB的中位线，易得AH=DH=
    1
    2
    AD，由此可得求出AH、DH的长，进而可求出OH的长，根据梯形中位线定理即可得到O1H的长，由此可求出点O1的坐标；过P作PF⊥x轴于F，由于OC、OP都是圆的切线，则OC=OP=O1C=O1P=5，由此可得四边形OCO1P是正方形，得∠POC=90°，根据等角的余角相等，可证得∠OCD=∠POF，由此可证得△POF≌△COD，即可得到PF、OF的长，也就得出了P点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线O1P的解析式，联立抛物线的解析式，即可得到Q点的横坐标．
    解答：解：
    （1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y=
    1
    6
    x2+bx+c，
    得
    c=0
    25
    6
    +5b+c=0
    ，
    解得
    b=-
    5
    6
    c=0
    ；
    ∴该抛物线的解析式为y=
    1
    6
    x2-
    5
    6
    x；

    （2）点C在该抛物线上．
    理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设AC交OH于点E
    ∵点B在直线y=2x上，
    ∴B（5，10）
    ∵点A、C关于直线y=2x对称，
    ∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10
    又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB=5
    		5

    ∵SRt△OAB=
    1
    2
    AE•OB=
    1
    2
    OA•AB
    ∴AE=2
    		5
    ，∴AC=4
    		5
    ；
    ∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，精英家教网
    ∴∠CAD=∠OBA；
    又∵∠CDA=∠OAB=90°，
    ∴△CDA∽△OAB
    ∴
    CD
    OA
    =
    AD
    AB
    =
    AC
    OB
    ；
    ∴CD=4，AD=8；
    ∴C（-3，4）
    当x=-3时，y=
    1
    6
    ×9-
    5
    6
    ×（-3）=4；
    ∴点C在抛物线y=
    1
    6
    x2-
    5
    6
    x上；

    （3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切；
    过点P作PF⊥x轴于点F，连接O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H；
    ∵CD∥O1H∥BA
    ∴C（-3，4），B（5，10）
    又∵O1是BC的中点，
    ∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH=
    1
    2
    AD=4，
    ∴OH=OA-AH=1，同理可得O1H=7，
    ∴点O1的坐标为（1，7）
    ∵BC⊥OC，∴OC为⊙O1的切线；
    又∵OP为⊙O1的切线，
    ∴OC=OP=O1C=O1P=5
    ∴四边形OPO1C为正方形，
    ∴∠POF=∠OCD
    又∵∠PFO=∠ODC=90°，
    ∴△POF≌△OCD
    ∴OF=CD，PF=OD，
    ∴P（4，3）
    设直线O1P的解析式为y=kx+b（k≠0），
    把O1（1，7）、P（4，3）分别代入y=kx+b，
    得
    k+b=7
    4k+b=3
    ，
    解得
    k=-
    4
    3
    b=
    25
    3
    ；
    ∴直线O1P的解析式为y=-
    4
    3
    x+
    25
    3
    ；
    若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为（m，n），
    则有n=-
    4
    3
    m+
    25
    3
    ，n=y=
    1
    6
    m2-
    5
    6
    m
    ∴-
    4
    3
    m+
    25
    3
    =
    1
    6
    m2-
    5
    6
    m，
    整理得m2+3m-50=0
    解得m=
    -3±
    		209
    2
    ，
    ∴点Q的横坐标为
    -3+
    		209
    2
    或
    -3-
    		209
    2
    ．
    点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、切线长定理、函数图象交点坐标的求法等；涉及知识点较多，难度很大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作
    （2，2）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，将一块腰长为2
    		2
    cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．
    （1）点A的坐标为
    （-3，2
    		2
    ）
    （-3，2
    		2
    ）
    ，点B的坐为
    (-3-2
    		2
    ，0)
    (-3-2
    		2
    ，0)
    ；
    （2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
    （3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：同步轻松练习　八年级　数学　上 题型：059

    学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)

    (1)按照这种规定填写下表：

    (2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

    (3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2013-2014学年北京海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷（解析版） 题型：解答题

    阅读下面的材料：

    小明在研究中心对称问题时发现：

    如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.

    如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.

    （1）请在图2中画出点、， 小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；

    （2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

     

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），
    （1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案