Question

（2012•南岗区一模）已知：菱形ABCD中，BD为对角线，|P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ=∠ABD，
（1）如图1，当∠BAD=90°时，证明：

2

DQ+BP=CD；
（2）如图2，当∠BAD=120°时，则

3

DQ+BP=

2

CD；    
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边点E，交BA延长线于M，作∠DCE的平分AD边于F若CQ：PM=5：7，EF=

35

24

，求线段BP的长．

Answer 1

分析：（1）当∠BAD=90°时四边形ABCD是正方形，易证△APC∽△DQC，则可以得到AP=

2

DQ，则可以证得；
（2）作∠QCK=∠PCQ，过B作BL∥CK，连接AC，易证△DLB∽△DQC则DL=

3

DQ，然后证明△ACP≌△DCK，即可证得；
（3）设BC=5k，则MC=7k，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB=90°，在直角△BCG中，利用三角函数求得BG，CG，然后在直角△MCG中，利用勾股定理求得MG的长，证明△AME∽△DCE，根据相似三角形的对应边的比相等求得AE的长，延长CF、BM交于H，可以证得△DFC∽△AFH，求得AF的长，根据EF=AF-AE求得k的值，过C作CN⊥BD于N，证明△EDQ∽△CBQ，求得QD的长，即可求解．

解答：解：（1）证明：连接AC，在菱形ABCD中，∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
∴∠PCQ=∠BDC=45°，∠PAC=∠QDC=∠ACD=45°
∴∠ACP+∠ACQ=∠ACQ+∠QCD=45°，
∴∠ACP=∠QCD
∴△APC∽△DQC，
∴

AP

DQ

=

AC

CD

=

2

1

，
∴AP=

2

DQ
∵CD-BP=AP，
∴CD-BP=

2

DQ，即

2

DQ+BP=CD；

（2）作∠QCK=∠PCQ，过B作BL∥CK，连接AC．
∵∠QCK=∠ADB，
∴∠CQD=∠CKD
∵CK∥BL，
∴∠CKD=∠BLD，
∴△DLB∽△DQC．
∴DL=

3

DQ，
∴CD+DK=

3

DQ，
又∵四边形APCK对角互补，AC平分∠PAK，
∴△ACP≌△DCK，
∴DK=AP，
∴CD+DK=CD+AP=2CD-BP=

3

DQ；

（3）在菱形ABCD中，∠ABD=∠BDC=30°
∵∠PCQ=∠ABD=30°，
∴∠PCQ=∠DCQ．
∵BM∥CD，
∴∠PMC=∠DCQ，
∴△DQC∽△MPC
∴CQ：PM=DC：MC=5：7，
∴BC：MC=5：7．
设BC=5k，则MC=7k，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB=90°
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴BG=

5

2

k，CG=

5 3

2

k．
在Rt△MGC中，MG=

MC2-CG2

=

11

2

k，
∴BM=8k．
∵AB=BC=5k，
∴AM=BM-AB=3k．
∵AM∥CD，
∴∠AMC=∠DCM，
∵∠AEM=∠DEC，
∴△AME∽△DCE，
∴AM：DC=AE：DE．
∴AE=

15

8

k．
延长CF、BM交于H，则∠DCF=∠MHC
∵FC平分∠ECD，
∴∠ECF=∠DCF，
∴∠MCH=∠MHC，
∴MH=MC=7k，
∴AH=AM+MH=10k．
∵∠HFA=∠CFD，
∴△DFC∽△AFH，
∴DF：AF=DC：AH
∴AF=

10

3

k，EF=AF-AE=

35

24

k，
∵EF=

35

24

k，
∴k=1．
∴DC=5．
过C作CN⊥BD于N，
则∠CND=90°．
∵∠CDN=30°，
∴CN=

5

2

，ND=

5 3

2

；
∵BC=CD，
∴BD=2ND=5

3

；
∵∠DQE=∠BQC，∠CBD=∠EDQ，
∴△EDQ∽△CBQ，
∴ED：BC=DQ：QB，
∴QD=

5

13

BD，
∴QD=

25 3

13

．
∵2CD-BP=

3

DQ，
∴BP=

55

13

．

点评：本题考查了正方形的性质与相似三角形的性质与判定的综合应用，正确作出辅助线是关键．