Question

如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，且B′C=3，求CN和AM的长．

Answer 1

解：如图，
∵边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，
∴A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90°，
设CN=x，则NB=9-x，NB′=9-x，
在Rt△NCB′，B′C=3，
∵NC²+B′C²=NB′²，
∴x²+3²=（9-x）²，解得x=4，
∴CN=4，NB′=9-4=5，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△B′DE∽Rt△NCB′，
∴==，
而DB′=DC-CB′=6，
∴==，
∴DE=，B′E=，
∴A′E=A′B′-B′E=9-=，
∵∠5=∠4，
∴Rt△MA′E∽Rt△B′DE，
∴=，即=，
∴ME=，
∴AM=AD-ME-DE=9--=2，
故CN的长为4，AM的长为2．
分析：根据折叠的性质得到A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90°，设CN=x，则NB=9-x，NB′=9-x，在Rt△NCB′，利用勾股定理了计算出x=4，即CN=4，得到NB′=9-4=5，根据三角形相似的判定方法易得Rt△B′DE∽Rt△NCB′，则==，可分别计算出DE=，B′E=，于是A′E=A′B′-B′E=9-=；然后再证明Rt△MA′E∽Rt△B′DE，得到=，即=，可计算出ME=，最后利用AM=AD-ME-DE可求出AM的长．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．