Question

（2013•上海模拟）将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，折痕所在直线交直线AB于点E，如果AB=4，BE=1，那么∠CAB的余切值是

2

或

6

3

．

Answer 1

分析：本题是一道比较常见的折叠问题，需要注意题目中的“直线AB”与“折痕所在的直线”，显然，满足题意的情况有两种：①点E在线段AB上，如图1；②点E在线段AB的延长线上，如图2．因此需要分类讨论．

解答：解：①如图1，当点E在线段AB上时，过点P作PH⊥AB于点H．易得AH=BE=1，则HE=AB-2BE=2．
设BC=PH=x，易证△ABC∽△PHE，则

4

x

=

x

2

，解得x=2

2

，此时，cot∠CAB=

2

；

②如图2，当点E在线段AB的延长线上时．过点P作PH⊥BC于点H．
易得PH=AB=4，
易得

BQ

QH

=

BE

PH

=

1

4

，BQ=CH=

1

4

QH．
设BC=t，则QH=

2

3

t．
易证△ABC∽△QHP，则

4

t

=

2 3 t

4

，解得t=2

6

，此时cot∠CAB=

6

3

．
综上所述，∠CAB的余切值是

2

或

6

3

．
故答案是：

2

或

6

3

．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质，折叠问题以及矩形的性质．解题时，一定要分类讨论，以防漏解．