Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A，OC⊥BD于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=12，EC=10，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可；
（2）易得△BEC∽△ADB，根据相似三角形的性质可得

BE

AD

=

EC

DB

；代入数据可得答案．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，∠A+∠ABD=90°．
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵OC⊥BD，
∴∠OEB=90°，
∴OE∥AD，
∴BE=ED=

1

2

BD=6．
∵∠BEC=∠D=90°，∠DBC=∠A，
∴△BEC∽△ADB，
∴

BE

AD

=

EC

DB

，
∴

6

AD

=

10

12

．
∴AD=7.2．

点评：本题考查的是切线的判定及相似三角形的判定与性质．注意要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．