Question

如图1，在等腰△ABC中，底边BC=8，高AD=2，一动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC向右运动，到达D点停止；另一动点P从距离B点1个单位的位置出发，以相同的速度沿BC向右运动，到达DC中点停止；已知P、Q同时出发，以PQ为边作正方形PQMN，使正方形PQMN和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当点N落在AB边上时，t的值为

 

，当点N落在AC边上时，t的值为

 

；
（2）设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S，求出当重叠部分为五边形时S与t的函数关系式以及t的取值范围；
（3）如图2，分别取AB、AC的中点E、F，连接ED、FD，当点P、Q开始运动时，点G从BE中点出发，以每秒

5

2

个单位的速度沿折线BE-ED-DF向F点运动，到达F点停止运动．请问在点P的整个运动过程中，点G可能与PN边的中点重合吗？如果可能，请直接写出t的值或取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）当点N落在AB边上时，△BPN∽△BAD，NP=1，可以确定BP的长度，得到答案；当点N落在AC边上时，△CPN∽△CAD，令NP=a，求得CP长度，即可得到答案．
（2）分两种情况讨论，当1＜t＜2时，设EQ交AB于R，则重叠部分为五边形PQREN，根据S=S_{正方形PQMN}-S_△MRE可以得到答案．当

13

3

＜t＜5时，设MN交AC于S，PN交AC于T，则重叠部分为五边形PQMST，根据S=S_△ADC-S_△AMS-S_△PTCPTC得到答案．
（3）可能，分三种情况出现，当t=0时，PN的中点恰好与BE的中点重合，当t=2时，通过计算能够重合，当4≤t≤5时，都可以重合．

解答：解：（1）当点N落在AB边上时，△BPN∽△BAD，NP=1，
∴

BP

BD

=

NP

AD

，即：

BP

4

=

1

2

，
∴BP=2，
又∵点P从距离B点1个单位的位置出发，
所以t=1；
当点N落在AC边上时，△CPN∽△CAD，令NP=a，

NP

AD

=

CP

CD

，即：

a

2

=

4-a

4

，
∴a=

4

3

，
所以BP=

16

3

，
又∵点P从距离B点1个单位的位置出发，
所以t=

13

3

，
故答案为：1；

13

3

；

（2）如图1，当1＜t＜2时，设EQ交AB于R，
则重叠部分为五边形_PQREN，
∵ME=2-t，MR=

1

2

ME=

1

2

（2-t），
∴S_△MRE=

1

2

ME•MR=

1

4

（2-t）²，
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△MRE=1-

1

4

（2-t）²=-

1

4

t²+t．

当

13

3

＜t＜5时，如图2，设MN交AC于S，PN交AC于T，
则重叠部分为五边形PQMST，
∵AM=2-（t-3）=5-t，
MS=2AM=2（5-t），
PC=7-t，PT=

1

2

PC=

1

2

（7-t）
∴S_△AMS=

1

2

AM•MS=（5-t）²，
S_△PTC=

1

2

PC•PT=

1

4

（7-t）²，
又S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

×2×4=4，
∴S=S_△ADC-S_△AMS-S_△PTC=4-（5-t）²-

1

4

（7-t）²=-

5

4

t²+

27

2

t-

133

4

．

综上所述，当重叠部分为五边形时S与t的函数关系式为：

- 1 4 t2+t(1＜t＜2) - 5 4 t2+ 27 2 t- 133 4 ( 13 3 ＜t＜5)

（3）可能．t=0，或t=2，或4≤t≤5，

（a）当t=0时，如图3，△BPG∽△BAD，
所以

BP

BD

=

PG

AD

，即：

1

4

=

PG

2

，
所以PG=

1

2

，当t=0时问题成立；

（b）当在如图4所示过程中G为PN的中点，则有PG为△QED的中位线，
所以BP=3，QP=QE=1，运行时间为2秒，BE=

5

，
所以

1

2

BE=

5

2

，EG=

1

2

ED=

5

2

，
所以点G刚好运行了2秒，与PN的中点恰好重合．

（c）如图5，当4≤t≤5时，都可以重合．

点评：本题考查了三角形相似的判定及其性质的应用，动点的运动问题，根据题意画出图形是解题的关键．