Question

如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=10，延长DE到A，使得EA=1，直线AC与半圆交于B、C两点，且∠DAC=30°．
（1）求弦BC的长；
（2）求△AOC的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）过点O作OM⊥BC于M，根据垂径定理得BM=CM，由∠DAC=30°得到OM=

1

2

AO=3，再根据勾股定理可计算出CM=4，则BC=8；
（2）在Rt△AOM中根据含30度的直角三角形三边的关系得到AM=

3

OM=3

3

，则AC=3

3

+4，然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：（1）过点O作OM⊥BC于M，如图，则BM=CM，
∵直径DE=10，EA=1，
∴AO=6，
∵∠DAC=30°，
∴OM=

1

2

AO=3，
在Rt△COM中，OC=5，
∴CM=

OC2-OM2

=4，
∴BC=2CM=8；
（2）在Rt△AOM中，∠DAC=30°，OM=3，
∴AM=

3

OM=3

3

，
∴AC=AM+CM=3

3

+4，
∴S_△AOC=

1

2

OM•AC=

1

2

×3×（3

3

+4）=

9 3

2

+6．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、含30度的直角三角形三边的关系．