Question

如图，l₁∥l₂，l₃与l₁、l₂相交于C、D二点，点P在l₃上，在图（1）、（2）、（3）中分别探究∠PAC、∠APB、∠PBD三者间关系，并证明．

Answer 1

（1）∠APB=∠PAC+∠PBD．
证明：过点P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₁∥l₂，
∴∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）∠PAC+∠APB=∠PBD．
证明：∵l₁∥l₂，
∴∠1=∠PBD，
∵∠1=∠PAC+∠APB，
∴∠PAC+∠APB=∠PBD．

（3）∠PBD+∠APB=∠PAC．
证明：∵l₁∥l₂，
∴∠1=∠PAC，
∵∠1=∠PBD+∠APB，
∴∠PBD+∠APB=∠PAC．
分析：（1）首先过点P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₁∥l₂，即可证得∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，继而证得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）由l₁∥l₂，根据平行线与三角形外角的性质，即可证得∠PAC+∠APB=∠PBD．
（3）由l₁∥l₂，根据平行线与三角形外角的性质，即可证得∠PBD+∠APB=∠PAC．
点评：此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．