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    （1）观察发现
    如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
    作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
    如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
    作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　   　．
    （2）实践运用
    如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　   　．
    （3）拓展延伸
    如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

    解：（1）=。
    （2）。
    （3）拓展延伸：作图如下：

    解析分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值：
    ∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点
    ∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1。
    ∴CE=BE=。
    （2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值：
    ∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称。
    ∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°。∴∠EOC=30°。
    ∴∠AOE=60°+30°=90°。
    ∵OA=OE=1，∴AEOA=。
    ∵AE的长就是BP+AP的最小值，∴BP+AP的最小值是。
    （3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于M、交BC于N。则点M，点N，使PM+PN的值最小。
    解：（1）观察发现：。
    （2）实践运用：
    如图，过B点作弦BE⊥CD，连接AE交CD于P点，连接OB、OE、OA、PB，则点P 即为使BP+AP的值最小的点。

    BP+AP的最小值是。
    （3）拓展延伸：作图如下：

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    （2013•六盘水）（1）观察发现
       如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
       作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

       如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
    作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为
    		3
    		3
    ．
     （2）实践运用
       如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，
    AC
    的度数为60°，点B是
    AC 
    的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为
    		2
    		2
    ．

      （3）拓展延伸
    如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）观察发现

    如图1，⊙O的半径为1，点P为⊙O外一点，PO=2，在⊙O上找一点M，使得PM最长．
    作法如下：作射线PO交⊙O于点M，则点M就是所求的点，此时PM=
    3
    3
    ．
    请说明PM最长的理由．
    （2）实践运用
    如图2，在等边三角形 ABC中，AB=2，以AB为斜边作直角三角形AMB，使CM最长．
    作法如下：以AB为直径画⊙O，作射线CO交⊙O右侧于点M，则△AMB即为所求．请按上述方法用三角板和圆规画出图形，并求出CM的长度．
    （3）拓展延伸
    如图3，在周长为m的任意形状的△ABC中，分别以AB、AC为斜边作直角三角形AMB，直角三角形ANC，使得线段MN最长，用尺规画出图形，此时MN=
    0.5m
    0.5m
    ．（保留作图痕迹）

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    科目：初中数学 来源：2013年初中毕业升学考试（贵州六盘水卷）数学（解析版） 题型：解答题

    （1）观察发现

    如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：

    作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

    如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

    作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　   　．

    （2）实践运用

    如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　   　．

    （3）拓展延伸

    如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

     

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    （1）观察发现

       如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：

       作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

       如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

    作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　　．

     （2）实践运用

       如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　　．

      （3）拓展延伸

    如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

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